Numerische Algorithmen

Die Aufgabe der Numerik ist die rechnerische Lösung mathematisch formulierter Probleme mit Hilfe von effizienten Algorithmen. Das Ausführen dieser algorithmischen Lösungsverfahren liefert die Lösung eines gegebenen Problems mit definierter Genauigkeit. Numerische Algorithmen besitzen in Technik und Naturwissenschaft eine sehr große Anwendungsvielfalt. Beispiele sind das Lösen von nichtlinearen Gleichungen in der Strömungsmechanik, das Bestimmen von Approximationspolynomen in der Messtechnik oder das Bearbeiten von Anfangswertproblemen in der Mehrkörperdynamik.

Lineare Gleichungssysteme

Problem:

Lösen eines linearen Gleichungssystems \( Ax = b \) mit einer reellen Koeffizientenmatrix \(A\) und der rechten Seite in Form des Vektors \( b \). Dieses Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn die Determinante der Matrix \(A\) ungleich null ist.

Lösungsverfahren:

  • Direkte Methoden: LR-Zerlegen auf Grundlage des Gauß-Algorithmus mit Pivotisieren.
  • Iterative Methoden: Iteratives Verbessern einer Anfangsnäherung mit dem Jacobi-Verfahren oder dem Gauß-Seidel-Verfahren.

Anwendungen:

  • Berechnen von Kräften in der Technischen Mechanik
  • Anwenden der Kirchhoffschen Regeln für Schaltkreise in der Elektrotechnik
  • Bestimmen der Temperatur einer Strömung
  • Numerisches Lösen von Differenzialgleichungen
  • Nichtlineare Optimierungsprobleme, Interpolation und Approximation

Interpolation

Problem:

Für eine Funktion \(g(x)\) oder eine Menge von Datenpunkten \(P_i = (x_i,y_i),\ i=0,\ldots, n\) ist ein Polynom gesucht, das an allen vorgegebenen Stellen mit den Funktionswerten oder den Punktdaten übereinstimmt.

Lösungsverfahren:

  • Interpolation nach Newton: Bestimmen eines Interpolationspolynoms \(n\)-ten Grades mit dem Schema der dividierten Differenzen.
  • Kubische Spline Interpolation: Berechnen einer stückweisen glatten kubischen Splinefunktion.

Anwendungen:

  • Interpolation von physikalisch-technischen Meßwerten
  • Abtasten von Signalen in der digitalen Signalverarbeitung
  • Skalieren von Bildern in der Computergrafik

Approximation

Problem:

Bestimmen einer Funktion \(f \), sodass die Norm der Differenz zwischen den Werten der gesuchten Funktion \( f(x_i)\) und den gegebenen Datenpunkten \(P_i = (x_i,y_i),\ i=0,\ldots, m\) minimal ist.

Lösungsverfahren:

Bestimmen der Koeffizienten \( c_0, c_1, \ldots, c_n \) der Funktion \(f\) mit der Methode der kleinsten Quadrate durch Aufsummieren der quadratischen Differenzen für alle Stützpunkte:

\( \displaystyle \Phi \left( c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\right) = \sum_{j=0}^{m}\left(f(x_j) - y_{j}\right)^{2} \)

Diese Minimierungsaufgabe ergibt ein Gleichungssystem und wird numerisch gelöst.

Anwendungen:

  • Analyse von statistischen Daten
  • Verarbeiten von Messwerten aus Sensoren
  • Algorithmen in der Bildregistration

Nichtlineare Gleichungen

Problem:

Bestimmen einer Nullstelle \(\xi\) einer nichtlinearen Gleichung \( f\left(x\right)\).

Lösungsverfahren:

Anwenden der sukzessiven Approximation durch Umwandeln von \( f\left(x\right)=0\) in eine sogenannte Fixpunktgleichung \( x=\varphi(x)\). Die zugehörige Folge heißt Fixpunktiteration von \(\varphi\) zum Startwert \({x}_0\):

\( \displaystyle {x}_{n+1}=\varphi\left(x_n \right), n=0,1,2\ldots \)

Die Konvergenz dieser Fixpunktiteration gegen einen sogenannten Fixpunkt \(\xi\) ist unter gewissen Bedingungen gegeben.

Anwendungen:

Nichtlineare Gleichungen treten als mathematisches Modell in vielen physikalisch-technischen Problemen auf.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Problem:

Lösen von Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen \( y'(t)=f(t,y(t)),\ \ y(t_{0})=y_{0} \).

Lösungsverfahren:

Anfangswertaufgabe wird in eine äquivalente Integralgleichung umgeformt:

\( \displaystyle y(t)=y(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\ ds. \)

Bei den numerischen Lösungsverfahren unterscheidet man zwischen expliziten und impliziten Verfahren bzw. zwischen Einschritt- und Mehrschrittverfahren.

Anwendungen:

Die numerische Lösung von Differentialgleichungen besitzt in vielen Bereichen eine große Bedeutung:
  • Physik (z.B. Bewegungsgleichungen)
  • E-Technik (z.B. Wechselstromkreis)
  • Technische Mechanik (z.B. Mehrkörpersysteme)
  • Strömungsmechanik (z.B. Strömungsverhalten im Blutkreislauf)
Programmieren für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Grundlagen

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